번외 : 주기함수의 라플라스 변환 공업수학 Part 1

번외로, 주기가 T인 주기함수의 라플라스 변환식을 구해봅시다.

구하는 과정에서, 무한등비급수의 공식이 응용됩니다.



라플라스 변환(Laplace Transform) 공업수학 Part 1

이전 포스팅까지 1계와 2계의 상미분방정식을 푸는 방법을 알아보았습니다.
 
1계에서 2계, 2계에서 더 고차로 갈수록 푸는 방법이 매우 어려워지는데, 라플라스 변환은 "선형 미분방정식" 을 푸는 데에 아주 유용하게 사용되는 방법입니다. 그 이름은 피에르시몽 라플라스라는 수학자의 이름에서 따왔다고 하네요.

라플라스 변환으로 선형미분방정식을 푸는 과정을 간략히 적어보자면,

t 변수로 이루어진 "복잡한" 미분방정식 → 라플라스 변환을 하여 s 변수로 이루어진 "간단한" 미분방정식
                                                      → 간단한 미분방정식의 해(s 변수)
                                                      → 라플라스 역변환을 하여 t 변수로 미분방정식의 해를 나타냄.

이번 포스팅에서는 라플라스 변환의 정의와 표기법에 대해서 쓰도록 하겠습니다.


라플라스 변환(t→s)의 정의

함수 f의 라플라스 변환은 다음과 같습니다.



흔히 다음과 같이 라플라스 변환 함수를 대문자로 나타냅니다. ex) 함수 f(t)의 라플라스 변환 함수는 F(s)



함수 f(t)의 형태에 따라, 변환되어 나오는 F(s)의 형태가 달라집니다.

ex)


다른 형태의 함수들의 라플라스 변환식도 위의 정의를 이용하여 구할 수 있습니다.
구한 식들을 표로 나타내면 다음과 같습니다.

라플라스 변환의 특성

라플라스 변환은 선형적(linear)이라는 특성을 가지고 있습니다.
즉,  1. "두 함수의 합의 라플라스 변환식"은 "각 함수의 라플라스 변환식의 합"과 같습니다.
    2.  f의 상수배를 한 함수의 라플라스 변환식은 f의 라플라스 변환식의 상수배를 한 것과 같습니다.



라플라스 역변환(Inverse Laplace Transform)

t변수에서 s변수로 가는 걸 라플라스 변환이라고 한다면, 거꾸로 s 변수에서 t 변수로 가는 변환을 라플라스 역변환이라 합니다.


라플라스 역변환 또한, 위의 라플라스 변환의 특성이 동일하게 적용됩니다.

간단한 문제들을 풀어봅시다.

PSTheater 27. 눈동자 속의 시리우스 에필로그 Platinum Star Theater 커뮤

프로듀서 : (플라네타륨 이벤트는, 대성황으로 마무리됐다.)

프로듀서 : (오늘은 플라네타륨을 볼 수 있는 카페에서, 뒤풀이다!)

-----------------------------------------------------------------------

우미 : 와, 와, 와......왔다! 여자력 가득한 메뉴~~!

우미 : 별 모양의 포밍의 슈가를 얹은 『밤하늘의 초콜릿 케이크』래☆ 귀여워!!

마츠리 : 접시 위에 별님이 반짝반짝거려서, 정말 로맨틱! 한 거에요.

우미 : 이건, 쿠키의 고리가 올려진, 『토성의 돔 쇼트 케이크』!

타카네 : 토성을 통째로...... 괜찮은 건가요?

우미 : 그리고그리고! 우주운을 본뜬, 푸른 『버터플라이피의 우주운 크림소다』!

미야 : 왠지, 빨려들어갈 것 같은 푸른색이네요~ 어떤 맛이 날까요~?

우미 : 마지막으로, 이거! 내가 고른 메뉴! 매운 은하계! 『펑 빅뱅 카레』~!!

프로듀서 : 보는 것만으로, 매운 게 눈에 물들어져와..... 은하계의 매움은 장난이 아니구나......

우미 : 응? .....어라? 왠지 내가 고른 메뉴만, 여자력 낮아!?

마츠리 : 그렇다면, 우미도 큐트! 하고 러블리! 한 메뉴를 추가하는 거에요!

미야 : 맞아요~ 다 같이 먹으면 순식간이라구요~~

우미 : 에, 정말!? 괜찮아, 프로듀서!

프로듀서 : 응. 제대로 다 먹는다면 괜찮아!

우미 : 야호! 그럼그럼, 나 파르페라던가 추가해버릴까나......?

타카네 : 걱정하지 않아도 괜찮답니다, 우미. 남기지 않고 다 같이 먹죠.

우미 : 응! 그럼...... 저기요! 『밤하늘 파르페』랑 『블랙홀 팬케이크』추가 부탁드릴게요~~!

프로듀서 : (카페의 할인권을 가져와서 다행이다!)

----------------------------------------------------------------------------

우미 : 이 카레, 엄청 매운데, 맛있어! 하지만 역시, 너무 매워!

미야 : 우주운 크림 소다도, 정말 맛있어요~~ 할아버지도 왔으면 좋았을 것 같네요~~

프로듀서 : 그러고 보니, 그날 마츠리의 여동생분도 보러 와줬다고 들었는데, 정말이야?

마츠리 : 맞아요. 우연히 주변을 돌아다니다가 잠깐 본 것 뿐야, 라고 본인은 말하고 있는 거에요.

마츠리 : 그런데, 공주에게 말도 안하고 가버린 거에요. 매정한 거에요.

미야 : 마츠리는 여동생분이랑 사이가 좋은 거네요~ 저는 외동딸이라서, 부러워요~~

타카네 : 우미의 언니분은, 우미랑 많이 닮았었죠. 정말, 아름다운 여성이었습니다.

우미 : 그래? 에헤헤♪ 확실히, 언니는 미인이라고 생각하는데......

프로듀서 : 우미, 언니분한테 메일이 왔다던데? 뭐라고 써있었어?

우미 : 응! 이벤트 즐거웠다고 해. 플라네타륨도 라이브도 최고였대!

우미 : 그리고 말야...... 헤헤. 『우미에게는 멋진 친구들이 잔뜩 있구나』라고 했어!

우미 : 모두를 잔뜩 칭찬해줘서, 왠지 엄......청 기뻤어!

타카네 : 그런가요?

우미 : 응! 그야, 언니를 대신할 수 있는 건 없잖아..... 그런 것처럼 극장의 모두를 대신할 수 있는 건 없으니까♪

프로듀서 : 그렇구나. 언니분과 같이, 동료 한 명 한 명이 둘도 없이 소중한 존재니까.

타카네 : 그렇군요...... 저도 이번에는 우미나 마츠리공주, 미야에게 많이 도움을 받았다고 생각해요.

우미 : 도움을 받다니, 그런~ 헤헤, 헤헤헤헤......

우미 : 나, 타카네 씨가 정말 좋아! 마츠링이랑 미야도, 프로듀서도!

우미 : 그러니까, 모두와 함께 노래해서 정말 즐거웠어☆

마츠리 : 공주도에요~

미야 : 저도요~

타카네 : 우미, 주문했던 밤하늘 파르페가 나왔어요. 남은 빅뱅 카레는 어떻게 하나요?

마츠리 : 우미가 배가 불렀다면, 이젠 다 같이 먹는 거에요!

우미 : 아앗, 잠깐만! 맛있으니까, 좀 더 먹을래!

프로듀서 : (각자가 가슴에 안은 쓸쓸함을 뛰어넘어, 타카네도 우미도 조금씩 전진했다. 그런 기분이 들어......)

프로듀서 : (아이돌들의 눈동자 속의 시리우스...... 쓸쓸함은, 그것을 한층 더 밝혀주는 존재일지도 모르겠어)

PSTheater 27. 눈동자 속의 시리우스 6화 Platinum Star Theater 커뮤

플라네타륨 이벤트 당일......

미야 : 앗, 찾았어요~~ 오리온자리에서 가장 밝은...... 저 별이 베텔기우스군요~~

타카네 : 그 옆에는, 브로키온과 시리우스가 빛나고 있네요. 멋진 밤하늘이에요......

우미 : 프로듀서, 저기 봐봐! 저게 겨울의 대삼각형이야! 찾기 쉽지!?

마츠리 : 시리우스부터 리겔, 알데바란, 카펠라, 폴룩스를 이으면, 겨울의 다이아몬드 인 거에요.

마츠리 : 프로듀서 씨, 저 다이아몬드, 겨울의 마츠리에게 딱 인거에요.

마츠리 : 마츠리, 저 다이아몬드를 가지고 싶은 거에요. 프로듀서 씨, 네?

프로듀서 : 아니, 아무래도 저건 무리지 않을까? 외기권커녕 태양계 밖이잖아.....

-----------------------------------------------------------------------

프로듀서 : 플라네타륨 견학도 무사히 끝났으니...... 다들, 준비는 끝났겠지? 드디어 본 공연이야!

타카네 : 네, 맡겨주십시오 프로듀서. 오늘의 무대를 반드시 성공시켜 보겠습니다.

우미 : 가족을 초대한다는 거, 왠지 두근두근하지!?

우미 : 처음은 아니지만, 긴장돼~!

마츠리 : 마츠리도, 두근두근인 거에요. 미야도 오늘은 두근두근한 건가요?

미야 : 네~~ 오늘은 저도, 할아버지를 초대한 거에요~~

우미 : 정말!? 미야의 할아버지, 만나고 싶어! 미야랑 닮았으려나?

미야 : 눈썹 모양이 닮았다고, 다들 말씀하세요~ 확인해 주세요~

우미 : 알았어! 눈썹에 주목해볼게!

타카네 : 프로듀서, 신기하네요. 미야가 있으니, 긴장이 어딘가로 날아가버린 것 같아요.

프로듀서 : 타카네, 긴장하고 있었던 거야?

타카네 : 네, 조금...... 하지만, 이미 괜찮습니다.

타카네 : 저에겐, 든든한 동료들이 함께니까요.

프로듀서 : 응, 그래. ......그럼, 무대 준비도 끝났어. 슬슬 시간인데......

우미 : 좋아! 오늘은 마음껏...... 앗! 음, 그것 뿐만이 아니라.

우미 : 조용한 노래도 즐길 수 있도록, 마음을 담아야...... 겠지?

프로듀서 : 그래, 맞아! 조용한 노래는 조용하게...... 하지만 즐거운 노래는, 마음껏 즐겁게야!

우미 : 응, 알았어 프로듀서! 그럼, 얘들아, 하나 둘!

모두 : 다녀오겠습니다!

프로듀서 : (4명은 밝은 미소로, 뛰어나간다.)

프로듀서 : (오늘은 ......아니, 오늘도 최고의 무대가 되겠군!)

PSTheater 27. 눈동자 속의 시리우스 5화 Platinum Star Theater 커뮤

프로듀서 : (어제의 티파티라는 이름의 미팅으로, 플라네타륨 이벤트의 방향성을 정했다.)

프로듀서 : (라이브를 위한 레슨도, 순조롭게 진행되고 있어.)

프로듀서 : (하지만 우미는 아직 침울해 있는 것 같다.....)

우미 : 하아......

프로듀서 : 왜 그래, 우미. 큰 한숨을 쉬고...... 뭔가 고민이라도 있는 거야?

마츠리 : 맞아요 우미. 한숨을 쉬면 해피! 가 도망가 버린다구요?

우미 : 프로듀서, 마츠리...... 사실은 언니의 귀국이 예정보다 빨라져 버렸어.

미야 : 어머~~ 그건 쓸쓸하네요~

우미 : 하지만, 언니한테는 정말 좋은 소식이야! 러시아의 공연에서 대역으로 뽑혔다구!

우미 : 일본 공연에서는 군무 무용수였지만...... 본 공연에서는 솔로를 맡는다더라구!

프로듀서 : 극장으로 치자면, 솔로곡을 부르는 것과 같은건가.

프로듀서 : 그건, 언니 분도 기뻐하겠구나!

우미 : 응! 그래서 나도 응원하고 싶다고 생각하는데.......

우미 : 모처럼 돌아온 언니가 곧바로 돌아가버린다는 건 역시 슬퍼~......

타카네 : 우미......

프로듀서 : (우미, 꽤나 풀이 죽어있구나. 오랜만에 만난 언니이기도 하고 무리도 아니지......)

마츠리 : 우미, 불쌍한 거에요...... 프로듀서 씨, 어떻게 할 수 없는 건가요?

프로듀서 : 어떻게, 라 해도 말야...... 음..

타카네 : 프로듀서, 이번 공연에 우미의 언니분을 초대한다...... 라는 건, 어떻습니까?

우미 : 엣? 초대라니, 언니를?

타카네 : 네, 돌아오고 또 바로 떠나버리는 건, 언니분도 분명 미련이 많으실 거에요.

타카네 : 하지만, 그 전에...... 적어도 즐거운 추억으로서 우미의 공연을 볼 수 있다면 좋지 않을까 하고.

타카네 : 무엇보다, 여동생이 노력하는 모습을 볼 수 있다는 건, 언니분에게 있어 자극이 되지 않겠습니까?

미야 : 오~~ 그건 굿 아이디어네요~~ 다음 라이브는 플라네타륨의 이벤트네요~~

마츠리 : 그럼, 덤으로 플라네타륨 라이브도 보여주면서 우미의 나레이션도 들려주는 거에요!

프로듀서 : 그렇군, 그게 좋을지도 모르겠어. 우미, 언니분에게 물어봐주지 않을래?

우미 : 에에에에! 그, 그래도......

타카네 : 우미......?

프로듀서 : 왜 그래, 우미. 언니분이 오질 않았음 하는거야?

우미 : 아, 아니야 전혀! 그럴 리가 없잖아? 나 언니처럼 대단한 사람이 아니니까......

우미 : 나레이션도 처음이어서 서투르다고 생각하고......

우미 : 안 돼! 그런 거, 언니에게 보여줄 순 없다구~!

미야 : 과연~~ 우미는 언니분에게 좋은 모습을 보여주고 싶은 거군요~~

우미 : 미야...... 으으, 맞아! 그렇다구!

우미 : 나 이왕이면 언니에게 좋은 모습을 보여주고 싶어!

우미 : 언니에게 "우미는 잘 하고 있구나" 라고 안심하게 해주고 싶으니까! 그래도......으으...

타카네 : 우미. 당신은, 지금의 자신을 부끄러워 하고 있나요? 그러면 안 돼요.

타카네 : 아까도 말했다시피, 지금의 우미의 모습을 보여주는 건, 언니분에게 있어서도 자극이 될 터.

타카네 : 만약에 우미가 잘 하지 못했다 할 지라도, 도전하는 모습을 보여주는 건 할 수 있을 거에요.

프로듀서 : 맞아. 그리고 우미의 언니분도 같은 기분이지 않을까?

프로듀서 : 멀리 있어서, 만나지 못하니까...... 오히려 무대에서 노력하는 모습을 보여주고 있다고 생각해.

우미 : 타카네 씨, 프로듀서.......

우미 : 아..... 알았어! 나, 도전할 거야! 그리고, 도전하는 모습을 언니에게 보여줄거야!

타카네 : 후후. 그래야만이 코사카 우미라고요.

----------------------------------------------------------------------------------

프로듀서 : (우미의 언니분을 초대할 준비는 갖춰졌다. 남은 건 레슨을 거듭해 공연을 맞이하는 것 뿐)

타카네 : 프로듀서, 안녕하신지요.

프로듀서 : 타카네, 고생했어! 아까는 고마웠어. 타카네가 우미에게 말해주지 않았더라면, 내가 말했을거야.

타카네 : 아뇨, 감사를 받을 일 정도는 아닙니다. 그리고......

타카네 : 그건...... 제가, 저 자신을 향해서 외쳤던 말일지도 모릅니다.

타카네 : 프로듀서가 말했던 것처럼. 고향의 모두는 저의 모습을 보며, 제 마음을 알아준다......

타카네 : 제가, 그렇게 믿고 싶은 거에요.

프로듀서 : ......괜찮아, 타카네. 타카네의 노력은 분명 고향의 사람들에게 전해지고 있겠지. 내가 보증할게.

타카네 : 프로듀서...... 감사합니다. 저도 그렇게 믿고 있어요.

프로듀서 : (타카네는 그렇게 말하며 희미하게 웃었다. 고향에서 떨어져, 허전함을 느끼는 일도 있겠지.)

프로듀서 : (그렇기 때문에 고향의 사람들에게 자신의 빛나는 모습을 전해준다.)

프로듀서 : (......그런 타카네의 소원을 떠받쳐서 이뤄나가자!)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 다음