1계 상미분 방정식 (First-Order Ordinary Differential Equations) 공업수학 Part 1


용어 정리

상미분 방정식(Ordinary Equation)이란?
변수가 하나인 함수의 n차 도함수를 포함하고 있는 미분방정식을 말함.

ex)
    
      등등......

1계라는 것은 상미분 방정식 안에 있는 도함수의 차수가 1차라는 것을 의미한다. → y' 만 포함되어 있다는 것


1계 상미분 방정식은 크게 4가지의 타입이 있다.




(1) 분리가능미분방정식(Separable Equations)

말 그대로 분리가 가능한 유형의 방정식이다.
한쪽은 x의 식끼리만, 나머지 한쪽은 y의 식끼리만 분리할 수 있으면 이에 해당한다.

ex)
    
    

푸는 법
x의 함수는 x의 함수끼리, y의 함수는 y의 함수끼리 모은다.
y'을 dy/dx로 바꾸고, 양변에 dx를 곱한다.
이제 적분하면 된다.
마지막으로 식을 보기 편하게 정리한다.


ex)

    
    




(2) 선형미분방정식(Linear Equations)

    
  이러한 형태로 주어진 상미분방정식이 선형에 해당한다. 여기서 p(x)와 q(x)는 x에 대한 함수이다.

ex)
     → p(x)=1, q(x)=x 인 선형 상미분 방정식.
    
    → p(x)=1/x, q(x)=3x^2 인 선형 상미분 방정식.


푸는 법
선형 상미분 방정식을 풀기 위해서 적분인자(Integrating Factor)를 먼저 계산해야 한다.
적분인자는 다음과 같다.
구한 적분인자를 방정식의 양변에다 곱한다.
그러면 이제 양변의 적분이 가능해진다.
y를 구하고, 식을 가지런히 정리하면 끝이다.

ex)
    




(3) 완전미분방정식(Exact Equations)

    
이런 형태를 가진 상미분 방정식을 완전미분방정식이라고 한다. 여기서 M(x,y), N(x,y)는 x,y에 대한 함수이다.
그런데 완전미분방정식을 풀기 위해 또 하나의 조건이 필요하다.
    

위의 형태를 가지고 있는 미분방정식이라도, 저 조건을 만족하지 않으면 풀 수가 없다.
이 조건을 만족할 때, 방정식이 exact 하다고 말한다.

ex)
     다 완전미분방정식의 형태로 만들 수 있음.

푸는법
방정식이 exact인지 아닌지를 먼저 확인한다.
exact하면, M(x,y)를 x에 대해 적분한다.
적분이 된 함수를 φ라 하고, φ를 y에 대해 미분한다.
미분한 함수를 N(x,y)와 비교하여 최종적으로 φ을 구한다.
그러면 답은 φ=c (c는 임의의 상수) 의 형태로 구해진다.

ex)
    




(4) 제차미분방정식(Homogeneous Differential Equation)

   의 형태로 나타낼 수 있는 미분방정식을 제차미분방정식이라고 한다.
그런데 2계 상미분방정식에서도 제차미분방정식이 있다. 
1계와 2계 제차미분방정식 푸는 법이 각각 다르니까 혼동해서는 안 된다.

ex)
  

푸는법
y/x=u 라고 한다. 그러면 y=ux가 되고 y'=u'x+u 이다.
원래의 식을 정리하면 u와 x만으로 미분방정식을 나타낼 수 있다.
지금까지 배운 (1), (2), (3) 의 방법으로 미분방정식을 푼다.
u를 다시 y/x로 바꿔주면 끝

ex)
  

1계 상미분 방정식은 크게보면 4가지 타입이 있다.
기타 유형은 다음 포스팅에서~~


 

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