베르누이 미분방정식과 리카티 방정식 공업수학 Part 1

저번 글에서 1계 상미분방정식의 대표적인 4가지 타입에 대해서 알아봤다.
이번 글에서는 문제 풀 때 유용한 1계 상미분방정식의 기타 유형 2가지에 대해 더 알아보도록 하자.




베르누이 미분방정식(Bernoulli Differential Equation)

의 형태를 가진 미분방정식을 베르누이 미분방정식으로 분류할 수 있다.
α가 0,1이 아닌 이유는 간단하다. α가 0일 때는 방정식이 선형미분방정식이 되고, α가 1일 때는 분리가능미분방정식이 되기 때문.
모두 전의 글에서 배운 방정식이다.

ex)
      → p(x)=1/x, R(x)=3x^2, α=3


      → p(x)=1/x, R(x)=1/4, α=-3/4

푸는법
 로 설정한다.
가 되는데, y'도 마찬가지로 구해준다.

구한 y와 y'을 원래의 미분방정식에 대입한다.
그러면 x와 v만으로 식을 나타낼 수 있고, 전에 배웠던 방법으로 미분방정식을 푼다.
v를 구하고, 에 대입해주면 끝이다.


ex)
    




리카티 방정식(Riccati Equation)

의 형태를 가진 방정식을 리카티 방정식으로 분류할 수 있다.
리카티 방정식을 푸는 방법은 특별한데 문제를 풀면서 알아보도록 하자.


여기서부터 중요하다.
y에 적절한 값을 넣어 식을 성립시키는 x에 대한 함수 y=S(x)를 찾아보자.
문제에서는 y에 1을 넣으면 식이 성립하므로, S(x)=1 이다.

 

리카티 방정식을 푸는 핵심은 직관적으로 최대한 간단한 형태의 S(x)를 알아내는 데에 있다.

그런데 "y=S(x)를 구했으니까 그게 문제의 답이 아니냐?" 라고 생각할 수 있다. 하지만 그렇지 않다.
미분방정식의 해는 일반해와 특수해로 나누어져 있다.
미분방정식을 푼다는 것은 일반해를 구한다는 것을 말한다. (일반적으로 임의의 상수 c가 포함되어 있음)
하지만 y=S(x)는 우리가 직관적으로 구한 특수해에 속한다. 
따라서 y=S(x)를 구했다고 해서 완전히 미분방정식의 답을 구한건 아니다.

지금까지 1계 상미분 방정식에 대해 알아보았다.
다음 글에서는 2계 상미분 방정식에 대하여 알아보도록 하자.


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