2계 상미분방정식(Second-Order Ordinary Differential Equation) 공업수학 Part 1

저번 게시글까지 1계 상미분 방정식의 6가지 유형에 대해서 알아보았다.
오늘은 2계 상미분 방정식에 대하여 알아보도록 하자.

개요

2계 상미분방정식은 2가지 케이스가 있다.
 
(1) 선형 미분방정식 - 2계 상미분방정식에서 제일 중요한 부분이고 푸는 여러가지 방법이 있다.
                         왜냐하면 기계공학이나 전기공학에서 활용도가 높기 때문

(2) 비선형 미분방정식 - 풀기 어려움.


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2계 선형 미분방정식(Linear Second-Order Equation)


이러한 형태로 나타낼 수 있는 방정식이 2계 선형 미분방정식이다.
여기서 p(x), q(x), f(x)는 x에 대한 함수이다.
f(x)=0 이면 제차 선형 미분방정식, f(x)≠0 이면 비제차 선형미분방정식 이라고 부르며, 각각 푸는 방법이 다르다.

여기서 잠깐 선형(linear) 이라는 단어가 어떤 의미를 가지는 지 알아보자.
위의 미분방정식을 성립시키는 해 2개를  라 하자.

그러면 두 해에 각각 임의의 상수를 곱해서 만든 함수 
도 미분방정식을 성립시키는 해이다
이런 미분방정식을 선형적이라고 한다.

2계 선형 미분방정식의 일반해는 다음과 같다.

여기서 c1,c2는 임의의 상수이고, y1(x), y2(x)는 서로 1차 독립(linearly independent)적인 함수이다.
y1(x), y2(x)를 fundamental set of solutions 라고 부른다.

1차 독립적이라는 말은 y1(x)≠cy2(x) 를 만족시킨다는 뜻이다.
두 함수가 서로 1차 독립적인지 아닌지를 확인하는 방법은 Wronskian의 값을 확인하면 된다.


Wronskian은 위와 같으며, W≠0이면 두 함수는 서로 1차 독립적이며, W=0일 경우 서로 1차 독립적이지 않다.
                                                                                                         (1차 의존적이다)

다음 글에서 제차 선형 미분방정식을 푸는 방법을 알아보도록 하자.


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