2계 제차 선형 미분방정식(Homogeneous Linear Equations) 공업수학 Part 1

2계 상미분방정식을 분류하면 다음 그림과 같다.

오늘 배울 내용은 제차 선형 미분방정식이다.


제차 선형 미분방정식(Homogeneous Linear Equation)



ex)
   

푸는법
제차 선형 미분방정식을 풀기 위해서, 먼저 특성방정식(Chracteristic equation)을 풀어야 한다.
각 미분방정식의 특성방정식은 다음과 같다.

특성방정식을 풀면, 3가지 케이스로 나뉘게 된다.
(1) 두 해가 각각 다른 실근인 경우, (2) 두 해가 중근일 경우, (3) 두 해가 허근일 경우 이다.

각각의 케이스에 따라, 미분방정식의 해가 다르다.


(1) 두 해가 각각 다른 실근일 경우

ex)
   


(2) 두 해가 중근일 경우

ex)
   


(3) 두 해가 허근일 경우

ex)
      

제차 선형 미분방정식의 해가 exponential 함수로 표현되는 원리는 무엇일까?
지수함수 y=e^ax는 미분해도 e^ax의 항은 사라지지 않고 오직 계수만 변하게 된다.
따라서 e^ax 앞에 적절한 계수 c와 a를 넣으면 방정식의 해를 구할 수 있지 않을까? 
라는 생각에서 제차 선형 미분방정식의 해를 구하는 방법이 도출되었다. 

다음 글에서 비제차 선형 미분방정식 푸는 방법을 알아보도록 하자.

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