2계 비제차 선형 미분방정식(Non-homogeneous Linear Equations) 공업수학 Part 1


비제차 선형 미분방정식(Non-homogeneous Linear Equation)


ex)  
   

비제차 선형 미분방정식의 일반해는 다음과 같다.

여기서 y1과 y2는 의 해이다.

Yp 또한 미분방정식의 해 중 하나이다. y1과 y2는 제차 선형 미분방정식을 푸는 방법으로 알아낼 수 있다.

따라서 비제차 선형 미분방정식을 푸는 핵심은 Yp를 구하는 것이다.

Yp를 구하는 방법은 2가지가 있다.

(1) 매개변수 변화법
(2) 미정계수법

하나하나 알아보도록 하자.





(1) 매개변수 변화법(Variation of Parameter)

 로 가정한다. 여기서 u1과 u2는 x에 대한 함수이다.
Yp를 미분하면  와 같이 되는데,
여기서 이라는 조건을 추가해주면,  이 된다.
Yp를 원래 미분방정식  에 대입하여 정리하면
이라는 식을 얻을 수 있다.
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 두 식을 연립하면,

의 식을 얻을 수 있다. 여기서 W(x)는 y1, y2의 Wronskian이다.
이제 이 방법을 이용해서 위의 예시를 풀어보자.

ex) 
         
   





(2) 미정계수법(Undetermined Coefficients)


(1)의 방법에서, Yp는 f(x)가 어떤 함수인지에 따라 달라진다는 것을 알 수 있다.
그래서 f(x)의 형태에 따라 Yp 값이 어떤지를 정리한 표가 있다.

이 표를 보면
f(x)가 다항함수 P(x)일 경우, Yp(x)도 다항함수 Q(x)의 형태
f(x)가 Ae^cx 형태의 지수함수일 경우, Yp(x)도 지수함수 Re^cx의 형태
f(x)가 Acos(βx) 형태의 삼각함수일 경우, Yp(x)도 삼각함수 Ccos(βx)+Dsin(βx)의 형태
......

어쨌든 f(x) 형태에 따라 Yp(x)의 형태를 알 수 있다. 이 부분은 암기가 필요하다.
Yp(x)는 미분방정식의 해 중 하나이기 때문에, Yp를 미분방정식에 대입하여 Yp를 알아낼 수 있다.

이 방법을 이용하여 예제를 풀어보자.

ex) 
    

다른 방정식들도 위와 같은 방법으로 풀 수 있다.





중첩 원리(Principle of Superposition)



이로써, 2계 상미분방정식을 푸는 방법을 알아보았다.
다음 글에서는 오일러의 미분방정식에 대해 알아보자.

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