오일러의 미분방정식 공업수학 Part 1

오일러의 미분방정식(Euler's Differential Equation)


오일러의 미분방정식은 x>0, x<0 에서 정의된다.
포스팅에서는 예제로 x>0 에서의 해만 구할 것이다. 간단한 조정을 하면 x<0에서의 해도 구할 수 있다.

오일러 미분방정식의 간단한 예들
ex) 
    
    

오일러 미분방정식을 풀기 위해, 먼저 미분방정식을 풀기 '익숙한' 형태로 바꿔야 한다.

 라고 하고  라 하자.

미분방정식에 Chain Rule을 적용하여 y'(x)와 y''(x)를 변환할 수 있다.


두 식을 정리하면,

 이다.

이제 오일러 미분방정식에 대입하여 정리하면,

 의 식을 얻을 수 있다.

이전 포스팅에서 배웠던 보기 '익숙한' 형태의 미분방정식으로 변환했으니, 이제 풀 수 있다.
위의 예제 중 하나를 배운 방법으로 풀어보면


위와 같이, 오일러 미분방정식의 해는 다항식의 형태로 나온다는 것을 알 수 있다.

지금까지 오일러 미분방정식을 푸는 방법을 알아보았다.
다음은 라플라스 변환에 대해 정리할 것이다.



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