라플라스 변환(Laplace Transform) 공업수학 Part 1

이전 포스팅까지 1계와 2계의 상미분방정식을 푸는 방법을 알아보았습니다.
 
1계에서 2계, 2계에서 더 고차로 갈수록 푸는 방법이 매우 어려워지는데, 라플라스 변환은 "선형 미분방정식" 을 푸는 데에 아주 유용하게 사용되는 방법입니다. 그 이름은 피에르시몽 라플라스라는 수학자의 이름에서 따왔다고 하네요.

라플라스 변환으로 선형미분방정식을 푸는 과정을 간략히 적어보자면,

t 변수로 이루어진 "복잡한" 미분방정식 → 라플라스 변환을 하여 s 변수로 이루어진 "간단한" 미분방정식
                                                      → 간단한 미분방정식의 해(s 변수)
                                                      → 라플라스 역변환을 하여 t 변수로 미분방정식의 해를 나타냄.

이번 포스팅에서는 라플라스 변환의 정의와 표기법에 대해서 쓰도록 하겠습니다.


라플라스 변환(t→s)의 정의

함수 f의 라플라스 변환은 다음과 같습니다.



흔히 다음과 같이 라플라스 변환 함수를 대문자로 나타냅니다. ex) 함수 f(t)의 라플라스 변환 함수는 F(s)



함수 f(t)의 형태에 따라, 변환되어 나오는 F(s)의 형태가 달라집니다.

ex)


다른 형태의 함수들의 라플라스 변환식도 위의 정의를 이용하여 구할 수 있습니다.
구한 식들을 표로 나타내면 다음과 같습니다.

라플라스 변환의 특성

라플라스 변환은 선형적(linear)이라는 특성을 가지고 있습니다.
즉,  1. "두 함수의 합의 라플라스 변환식"은 "각 함수의 라플라스 변환식의 합"과 같습니다.
    2.  f의 상수배를 한 함수의 라플라스 변환식은 f의 라플라스 변환식의 상수배를 한 것과 같습니다.



라플라스 역변환(Inverse Laplace Transform)

t변수에서 s변수로 가는 걸 라플라스 변환이라고 한다면, 거꾸로 s 변수에서 t 변수로 가는 변환을 라플라스 역변환이라 합니다.


라플라스 역변환 또한, 위의 라플라스 변환의 특성이 동일하게 적용됩니다.

간단한 문제들을 풀어봅시다.

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